Gönderen Konu: Altın sayı - Tanrısal oran  (Okunma sayısı 4911 defa)

0 Üye ve 1 Ziyaretçi konuyu incelemekte.

Çevrimdışı Wolfeye

  • Yönetici
  • *
  • İleti: 4719
  • Teşekkür: 55
  • Cinsiyet: Bay
    • Sanat tarihi
Altın sayı - Tanrısal oran
« : 18 Ocak 2009, 12:38:19 »
TANRISAL ORAN BAĞINTISI
a ve b (a'nın b'den büyük olması koşuluyla), p büyüklüğünün iki parçasıysa,, eşitliği elde edilir
ve p = a + b olduğuna göre , dolayısıyla bağıntıları bulunur. En küçük parçaya (b) 1
değeri verilirse, , dolayısıyla elde edilir. İkinci dereceden bu denklemin artı kare kökü
sonucunu verir; altın sayı budur.

GÜZELLİĞİN KURALI

Altın kesit oranı, İtalyan matematikçi Fibonacci'nin (XII. yy. sonu) 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,... biçiminde verdiği toplamalı dizisine yakındır; bu dizinin her terimi, kendinden önce gelen iki terimin toplamına eşittir. Art arda gelen iki terim arasındaki oran, Altın kesite yaklaşır. Mimarlık, heykelcilik ve resim alanlarında bir güzellik kuralı olarak benimsenen altın sayıya, uzunluklar, yüzeyler ve biçimler arasındaki oranlarda çok sık rastlanır. Altın sayıya da Tanrısal oran, Keops piramiti, i Parthenon ve Milano'daki Duomo gibi büyük yapıtlarda açıkça görülür. Pytagorasçıların ve onları izleyen kuşakların uyum simgesi olan altın sayı, Mısır Sanatıve Yunan tapınaklarının, gotik üslubunda kiliselerin temel çizgilerinde gözlenir. Ayrıca Akdeniz bölgesindeki (Mısır, Yunan, Bizans) yapıtların yanı sıra, Rönesans dönemi yapıtları ile gotik üslubundaki yapıtlara özel bir ritim verir. Özellikle Eski Yunan sanatında, insan bedenindeki orantılı ölçüler, uyumlu gelişme gibi özelliklerde Tanrısal orana uyulduğu görülür.

Bana kalırsa bu orantı düzgün her geometrik şeklin içerisinde vardır, şeklin orantılı bir biçimde parçalanması altın sayıya yaklaşık bir değere ulaşmayı sağlar.
midena pro tou telous makarize

Çevrimdışı Wolfeye

  • Yönetici
  • *
  • İleti: 4719
  • Teşekkür: 55
  • Cinsiyet: Bay
    • Sanat tarihi
Ynt: Altın sayı - Tanrısal oran
« Yanıtla #1 : 18 Ocak 2009, 12:38:40 »
Kâinattaki müthiş nizamı her yerde hakimiyetini hissettirmektedir. Bu nizamı anlatmada çoğu defa kelimeler yetersiz kalmakta, matematiğin farklı diline ve bakış açısına müracaat etmek gerekmektedir. Birbiri ile ilgisiz gibi görünen hadise ve yapılarda benzer özelliklerin bulunması, bütün işlere hakim olan ve tasarrufta bulunan bir Yaratıcıya işaret etmektedir. Bu yazıda matematikteki çok özel bir sayı olan altın orandan, bu sayının tarihçesi, sanat, estetik uygulamalarının yanı sıra en önemli özelliği olan kâinattaki uygulamalarından bahsedeceğiz.

İnsanlar bazı dikdörtgenleri diğerlerine tercih ederler. Şişman ve kare olanlarından, zayıf ve uzun olanlarına bir dizi dikdörtgen gösterildiğinde, kenarları belli bir orana sahip olanı genelde tercih edilir. Bu oran altın oran olarak bilinen sayıdır. Bu sayı estetiğin temel sayısı olup, tarih boyunca Yunan mimarisinden Mona Lisa'nın yüz resminin çerçevesine kadar kullanılmıştır. Bu sayıyla sadece estetikte değil, bilimde de karşılaşılmaktadır. Physical Review B dergisinde yeni yayımlanan bir makalede, bazı metallerin özelliklerinde bu sayıya rastlanıldığı rapor edilmiştir. Altın orana, bitki saplarının üzerinde yaprakların yerleştirilmesinde, ayçiçeğinin çekirdeklerinin dizilişinde, deniz kabuklarının ve galaksilerin spirallerinde, hattâ dönen karadeliklerin özelliklerinde rastlanılmaktadır. Bu sayı kâinatın hemen her yerindedir.

Altın oran, ilk önce MÖ 300'lü yıllarda Yunan matematikçi Öklid tarafından tanımlanmışsa Pisagor’un takipçileri tarafından muhtemelen iki yüzyıl önce bilinmekteydi. Öklid bu oranı iki eşit olmayan parçaya bölünen doğru cinsinden tanımlamıştı. Eğer uzun parçanın kısa parçaya oranı, bütün doğrunun uzun parçaya oranına eşit ise, doğru altın oranda bölünmüş demektir. Sayısal olarak bu oran; 1,6180339887… şeklindedir.

Bu oran bazı ilginç matematikî özelliklere de sahiptir. Sayının karesini almak için sayıya 1 eklemeniz yeterlidir. Çarpma işlemine göre tersi için ise, sayıdan 1 çıkarmanız gerekir. Bu özelliğinden dolayı elinizdeki altın dikdörtgenden (kenarları oranı altın oran olan) bir kenarı kısa kenar olan bir kareyi kesip ayırırsanız geriye yine altın bir dikdörtgen kalacaktır. Diğer bir özellik ise şöyledir: Herhangi iki sayıyı seçerek bir sayı dizisi başlatalım. Bu sayıların toplamı dizinin üçüncü elemanı olsun. Dördüncü eleman iki ve üçüncü elemanın toplamı, beşinci eleman ise, kendisinden önceki iki elemanın toplamı olsun. Örneğin 7 ve 11 sayıları ile başladıysanız dizi 7, 11, 18, 29, 47, 76… eklinde devam edecektir. Dizinin 20. sayısını 19. sayıya böldüğünüzde yaklaşık altın oran elde edilecektir. Matematik diliyle ifade edersek (an / an-1 )=altın oran olacaktır.

Tabiatta çok fazla karşılaşılan Fibonacci sayı dizisi bu mantıkla elde edilmektedir. Dizi şöyledir: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55… Dizinin ilerleyen sayılarında alınan bir terimin bir önceki terime oranı altın orana yakınlaşmaktadır. Bu dizi deniz kabuğu spirallerinin oranlarını ve ayçiçeğindeki çekirdeklerin dizilişini belirler.

Sanatçı ve mimarların altın orana rağbeti, İtalyan rahip ve matematikçi Luca Pacioli'ye dayanmaktadır. 15. yüzyılda Pacioli üç ciltlik 'Kutsal Oran' adlı bir risale yayımlamıştı. Altın Oranın ondalık açılımındaki rakamların grup halinde hiç tekrar etmemesini Allah'ın kavranamayan mahiyetine benzetmişti. Pacioli'den sonra birçok ressam, mimar ve müzisyen bu oranı eserlerinde kullanmıştır. Bazı meşhur örnekler: Bestekâr Debussy, Bartok ve mimar Le Corbusier...

Altın oranın uygulama alanlarından birisi olan yaprakların dikey bir bitki sistemindeki dizilişi olan phyllotaxis'i ele alalım. Her yeni yaprak büyürken, bir altındaki yapraktan belli bir açı farkı ile çıkar. Bu açı büyük çoğunlukla 137,5 derecedir. 360 derecenin altın oranda bölünmesi ile 137,5 ve 222,5 derecelik açılar elde edilir. Phyllotaxis'te neden altın oran çıkmaktadır? Bu tamamıyla verimlilikle ilgilidir. Sapın ucundaki her bir yeni yaprak güneş ışığını alırken önceki yaprakları en az şekilde gölgede bırakmalıdır. Altın oran şeklindeki açı bölünmesi ile sap etrafına spiral şeklinde yerleştirilen yapraklar, ideal konumları ile güneş ışığından maksimum istifadeyi elde edebilmektedir. Eğer birbirini takip eden yapraklar 120 derece açıyla yerleştirilmiş olsalardı, yukarıdan bakan birisi yaprakları 3 sütun halinde görecekti ve bu sütunların arasında büyük boşluklar oluşacaktı. Bu ise güneş ışınlarının verimli ulaşmasını engelleyecekti. Eğer açı 50 derece olsa idi, üç sütundan fazla sütun olacaktı; ama yine boşluklar bulunacaktı ve az bir yaprak sayısından sonra birbirinin tamamen altına rastlayan yapraklar bulunacaktı. Fakat 137,5 derecelik açıda boşluklar asgariye indirilmekte ve ışık alma kapasitesi düşürülmeden maksimum sayıda yaprak yerleşebilmektedir.

Altın orana malzeme biliminde de rastlanıldı. Kristaller gibi tamamen düzgün yapıları olmayan kuasikristallerin büyümesini ele alalım. Bu kristaller 5 katlı simetriye sahiptir ve tam dönüşün beşte biri kadar döndürüldüğünde aynı gözükürler. Bu kristallerin 1984'te keşfedilmesinden beri birçok araştırmacı bunları büyütmeye ve garip özelliklerini incelemeye başlamıştır. New York Eyaleti’ndeki Brookhaven Ulusal Lâboratuarı’ndan Tanhong Cai bu tipteki iki kristalin büyütülmüş görüntülerini inceledi. Kristaller, Alüminyum-Bakır-Demir ve Alüminyum-Paladyum-Manganez alaşımlarına aitti. Kristal şekillerinde düzlem alanların keskin düşey basamaklarla birbirinden ayrıldığını gördü. Basamaklar iki baskın ölçüde çıkmaktaydılar ve bu iki ölçünün oranı altın oranına eşitti. Bu buluş 2002 yılına ait yeni bir buluştu.

Altın orana sadece dünyada rastlanmamaktadır. Spiral şeklindeki galaksilerde de bu orana rastlanmıştır. Makro âlemdeki diğer bir uygulama da karadeliklerdir. 1989'da Adelaide Üniversitesi’nden Paul Davies dönen karadeliklerin termodinamiğinin altın oranla münasebetli olduğunu keşfetti.

Hemen her şey pozitif özgül ısıya sahiptir. Böylece enerji bıraktıklarında soğurlar. Dönen bir karadelik ise, negatif özgül ısıya sahip olabilir; böylece enerji bıraktığında daha sıcak olur. Karadeliğin özgül ısısının negatif veya pozitif olması, karadeliğin kütlesine ve dönme hızı ile ilgili dönme parametresine bağımlıdır. Davies, karadeliğin kütlesinin karekökünün dönme parametresinin kareköküne, oranı altın orana eşit olduğunda özgül ısısının negatiften pozitife değiştiğini buldu. Yani bir ölçüde altın oran karadeliğin karakterini belirliyordu.

Altın oranın tabiatta ve canlılarda sayısız örnekleri vardır. Parmak ucundan başlayıp, elin içine doğru gidildikçe her bir kemiğin bir öncekine oranı altın oran çıkmaktadır. Çam kozalaklarında, altın oran yöntemi ile elde edilen spiralleri görmek mümkündür. Echinacea purpura çiçeğinde de bu spiraller tespit edilmiştir. Bu konudaki sayısız örneklerden son bir örneği, karnabahar sebzesini ve spirallerini verelim.

Gelişmekte olan bilim sayesinde altın oranın kâinattaki yeni uygulamaları keşfedilebilecektir. Malzeme bilimi ve karadeliklerle ilgili son buluşlar, bu görüşü teyit etmektedir. Belki de bu oranın teknolojiye aktarılması ile daha verimli ve hayatımızı daha kolaylaştıracak ürünler kullanıma sunulabilecektir. Kâinatın içerisine serpiştirilmiş bu ve benzeri sırlar, düşünce ufkumuzda yenilenmeye ve ilerlemeye vesile olabilir.

Kaynak: Prof.Dr. M. Sami Polatöz (Sızıntı Dergisi)
- Marcus Chown, Why Should Nature Have aa Favorite Number, NewScientist, 21/28 December 2002, 55-56.

KAYNAK 3

Allah, her şey için bir ölçü kılmıştır." (Talak Suresi, 3)

"... Rahman (olan Allah)ın yaratmasında hiçbir 'çelişki ve uygunsuzluk' (tefavüt) göremezsin. İşte gözü(nü) çevirip-gezdir; herhangi bir çatlaklık (bozukluk ve çarpıklık) görüyor musun? Sonra gözünü iki kere daha çevirip-gezdir; o göz (uyumsuzluk bulmaktan) umudunu kesmiş bir halde bitkin olarak sana dönecektir." (Mülk Suresi 3-4)

"...Eğer uygulama veya işlev unsurları açısından hoşa giden ya da son derece dengeli olan bir forma ulaşılmışsa, orada Altın Sayı'nın bir fonksiyonunu arayabiliriz... Altın Sayı, matematiksel hayal gücünün değil de, denge yasalarına ilişkin doğal prensibin bir ürünüdür."1

Mısır'daki piramitler, Leonardo da Vinci'nin Mona Lisa adlı tablosu, ay çiçeği, salyangoz, çam kozalağı ve parmaklarınız arasındaki ortak özellik nedir?

Bu sorunun cevabı, Fibonacci isimli İtalyan matematikçinin bulduğu bir dizi sayıda gizlidir. Fibonacci sayıları olarak da adlandırılan bu sayıların özelliği, dizideki sayılardan her birinin, kendisinden önce gelen iki sayının toplamından oluşmasıdır. 2

Fibonacci Sayıları: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, ...

Fibonacci sayılarının ilginç bir özelliği vardır. Dizideki bir sayıyı kendinden önceki sayıya böldüğünüzde birbirine çok yakın sayılar elde edersiniz. Hatta serideki 13. sırada yer alan sayıdan sonra bu sayı) sabitlenir. İşte bu sayı "altın oran" olarak adlandırılır.

ALTIN ORAN = 1,618

233 / 144 = 1,618
377 / 233 = 1,618
610 / 377 = 1,618
987 / 610 = 1,618
1597 / 987 = 1,618
2584 / 1597 = 1,618

İnsan Vücudu ve Altın Oran

Sanatçılar, bilim adamları ve tasarımcılar, araştırmalarını yaparken ya da ürünlerini ortaya koyarlarken orantıları altın orana göre belirlenmiş insan bedenini ölçü olarak alırlar. Leonardo da Vinci ve Corbusier tasarımlarını yaparken altın orana göre belirlenmiş insan vücudunu ölçü almışlardır. Günümüz mimarlarının en önemli başvuru kitaplarından biri olan Neufert'te de altın orana göre belirlenmiş insan vücudu temel alınmaktadır.

İnsan Bedeninde Altın Oran

Bedenin çeşitli kısımları arasında var olduğu öne sürülen ve yaklaşık altın oran değerlerine uyan "ideal" orantı ilişkileri genel olarak bir şema halinde gösterilebilir.3

İnsan vücudunda altın orana verilebilecek ilk örnek; göbek ile ayak arasındaki mesafe 1 birim olarak kabul edildiğinde, insan boyunun 1,618'e denk gelmesidir. Bunun dışında vücudumuzda yer alan diğer bazı altın oranlar şöyledir:

Parmak ucu-dirsek arası / El bileği-dirsek arası,
Omuz hizasından baş ucuna olan mesafe / Kafa boyu,
Göbek-baş ucu arası mesafe / Omuz hizasından baş ucuna olan mesafe,
Göbek-diz arası / Diz-ayak ucu arası.

İnsan Eli

Elinizi derginin sayfasından çekip ve işaret parmağınızın şekline bir bakın. Muhtemelen orada da altın orana şahit olacaksınız.

Parmaklarımız üç boğumludur. Parmağın tam boyunun İlk iki boğuma oranı altın oranı verir (baş parmak dışındaki parmaklar için). Ayrıca orta parmağın serçe parmağına oranında da altın oran olduğunu fark edebilirsiniz.4

2 eliniz var, iki elinizdeki parmaklar 3 bölümden oluşur. Her elinizde 5 parmak vardır ve bunlardan sadece 8'i altın orana göre boğumlanmıştır. 2, 3, 5 ve 8 fibonocci sayılarına uyar.

İnsan Yüzünde Altın Oran

İnsan yüzünde de birçok altın oran vardır. Ancak bunu elinize hemen bir cetvel alıp insanların yüzünde ölçüler almayı denemeyin. Çünkü bu oranlandırma, bilim adamları ve sanatkarların beraberce kabul ettikleri "ideal bir insan yüzü" için geçerlidir.

Örneğin üst çenedeki ön iki dişin enlerinin toplamının boylarına oranı altın oranı verir. İlk dişin genişliğinin merkezden ikinci dişe oranı da altın orana dayanır. Bunlar bir dişçinin dikkate alabileceği en ideal oranlardır. Bunların dışında insan yüzünde yer alan diğer bazı altın oranlar şöyledir:

Yüzün boyu / Yüzün genişliği,
Dudak- kaşların birleşim yeri arası / Burun boyu,
Yüzün boyu / Çene ucu-kaşların birleşim yeri arası,
Ağız boyu / Burun genişliği,
Burun genişliği / Burun delikleri arası,
Göz bebekleri arası / Kaşlar arası.

Akciğerlerdeki Altın Oran

Amerikalı fizikçi B. J. West ile doktor A. L. Goldberger, 1985-1987 yılları arasında yürüttükleri araştırmalarında5, akciğerlerin yapısındaki altın oranının varlığını ortaya koydular. Akciğeri oluşturan bronş ağacının bir özelliği, asimetrik olmasıdır. Örneğin, soluk borusu, biri uzun (sol) ve diğeri de kısa (sağ) olmak üzere iki ana bronşa ayrılır. Ve bu asimetrik bölünme, bronşların ardışık dallanmalarında da sürüp gider.6 İşte bu bölünmelerin hepsinde kısa bronşun uzun bronşa olan oranının yaklaşık olarak 1/ 1,618 değerini verdiği saptanmıştır.

Altın Dikdörtgen ve Sarmallardaki Tasarım

Kenarlarının oranı altın orana eşit olan bir dikdörtgene "altın dikdörtgen" denir. Uzun kenarı 1,618 birim kısa kenarı 1 birim olan bir dikdörtgen altın dikdörtgendir. Bu dikdörtgenin kısa kenarının tamamını kenar kabul eden bir kare ve hemen ardından karenin iki köşesi arasında bir çeyrek çember çizelim. Kare çizildikten sonra yanda kalan küçük bir kare ve çeyrek çember çizip bunu asıl dikdörtgenin içinde kalan tüm dikdörtgenler için yapalım. Bunu yaptığınızda karşınıza bir sarmal çıkacaktır.

İngiliz estetikçi William Charlton insanların sarmalları hoş bulmaları ve binlerce yıl öncesinden beri kullanmalarını "Sarmallardan hoşlanırız çünkü, sarmalları görsel olarak kolayca izleyebiliriz." 7 diyerek açıklar.

Temelinde altın oranı yatan sarmallar doğada şahit olabileceğiniz en eşsiz tasarımları da barındırırlar. Ayçiçeği ya da kozalak üzerindeki sarmal dizilimler bu konuda verilebilecek ilk örneklerdir. Yüce Allah'ın kusursuz yaratışının ve her varlığı bir ölçü ile yarattığının bir örneği olan bu durumun yanı sıra birçok canlı büyüme sürecini de logaritmik sarmal formunda gerçekleştirir. Bunun sarmaldaki yayların daima aynı biçimde olması ve yayların büyüklüğünün değişmesine karşın esas şeklin (sarmal) hiç değişmemesidir. Matematikte bu özelliğe sahip başka bir şekil yoktur.8

Deniz Kabuklarındaki Tasarım

Bilim adamları deniz dibinde yaşayan ve yumuşakça olarak sınıflandırılan canlıların taşıdıkları kabukların yapısını incelerken bunların formu, iç ve dış yüzeylerinin yapısı dikkatlerini çekmiştir:

"İç yüzey pürüzsüz, dış yüzeyde yivliydi. Yumuşakça kabuğun içindeydi ve kabukların iç yüzeyi pürüzsüz olmalıydı. Kabuğun dış köşeleri kabukların sertliğini artırıyor ve böylelikle, gücünü yükseltiyordu. Kabuk formları yaratılışlarında kullanılan mükemmellik ve faydalarıyla hayrete düşürür. Kabuklardaki spiral fikir mükemmel geometrik formda ve şaşırtıcı güzellikteki 'bilenmiş' tasarımda ifade edilmiştir."9

Yumuşakçaların pek çoğunun sahip olduğu kabuk logaritmik spiral şeklinde büyür. Bu canlıların hiçbiri şüphesiz logaritmik spiral bir yana, en basit matematik işleminden bile habersizdir. Peki nasıl olup da söz konusu canlılar kendileri için en ideal büyüme tarzının bu şekilde olduğunu bilebiliyorlar? Bazı bilim adamlarının "ilkel" olarak kabul ettiği bu canlılar, bu şeklin kendileri için en ideal form olduğunu nereden bilmektedirler? Böyle bir büyüme şeklinin bir şuur yada akıl olmadan gerçekleşmesi imkansızdır. Bu şuur ne yumuşakçalarda ne de -bazı bilim adamlarının iddia ettiği gibbi- doğanın kendisinde mevcuttur. Böyle bir şeyi tesadüflerle açıklamaya kalkışmak çok büyük bir akılsızlıktır. Bu ancak üstün bir aklın ve ilmin ürünü olacak bir tasarımdır. Bu tasarım herşeyi yaratmış olan Yüce Allah'a aittir:

"... Rabbim, ilim bakımından herşeyi kuşatmıştır. Yine de öğüt alıp-düşünmeyecek misiniz?" (Enam Suresi, 80)

Biyolog Sir D'Arcy Thompson uzmanı olduğu bu tür büyümeyi "Gnom tarzı büyüme" olarak adlandırılmıştı. Thompson'ın bu konudaki ifadeleri şöyledir:

"Bir deniz kabuğunun büyüme sürecinde, aynı ve değişmez orantılara bağlı olarak genişlemesi ve uzamasından daha sade bir sistem düşünemeyiz. Kabuk ...giderek büyür, fakat şeklini değiştirmez."10

Birkaç santimetre çapındaki bir nautilusta, gnom tarzı büyümenin en güzel örneklerinden birini görmek mümkündür. C. Morrison insan zekası ile bile planlaması hayli güç olan bu büyüme sürecini şöyle anlatır:

"Nautilus'un kabuğunun içinde, sedef duvarlar ile örülmüş bir sürü odacığın oluşturduğu içsel bir sarmal uzanır. Hayvan büyüdükçe, sarmal kabuğunun ağız kısmında, bir öncekinden daha büyük bir odacık inşa eder ve arkasındaki kapıyı bir sedef tabakası ile örterek daha geniş olan bu yeni bölüme ilerler."11

Kabuklarındaki farklı büyüme oranlarını içeren logaritmik sarmallara göre diğer deniz canlıları bilimsel adlarıyla şöyle sıralanabilir:

Haliotis Parvus, Dolium Perdix, Murex, Fusus Antiquus, Scalari Pretiosa, Solarium Trochleare.

Bugün fosil halinde bulunan ve Amonitlerde logaritmik sarmal şeklinde gelişen kabuklar taşırlar.

Hayvanlar dünyasında sarmal formda büyüme sadece yumuşakçaların kabukları ile sınırlı değildir. Özellikle Antilop, yaban keçisi, koç gibi hayvanların boynuzları gelişimlerini temelini altın orandan alan sarmallar şeklinde tamamlarlar.12

İşitme ve Denge Organında Altın Oran

İnsanın iç kulağında yer alan Cochlea (Salyangoz) ses titreşimlerini aktarma işlevini görür. İçi sıvı dolu olan bu kemiksi yapı, içinde altın oran barındıran

=73 derece 43´ sabit açılı logaritmik sarmal formundadır.

Sarmal Formda Gelişen Boynuzlar ve Dişler

Filler ile soyu tükenen mamutların dişleri, aslanların tırnakları ve papağanların gagalarında logaritmik sarmal kökenli yay parçalarına göre biçimlenmiş örneklere rastlanır. Eperia örümceği de ağını daima logaritmik sarmal şeklinde örer. Mikroorganizmalardan planktonlar arasında, globigerinae, planorbis, vortex, terebra, turitellae ve trochida gibi minicik canlıların hepsinin sarmala göre inşa edilmiş bedenleri vardır.
midena pro tou telous makarize

Çevrimdışı Wolfeye

  • Yönetici
  • *
  • İleti: 4719
  • Teşekkür: 55
  • Cinsiyet: Bay
    • Sanat tarihi
Ynt: Altın sayı - Tanrısal oran
« Yanıtla #2 : 18 Ocak 2009, 12:39:23 »
Mikrodünyada Altın Oran

Geometrik şekiller sadece üçgen, kare veya beşgen, altıgen ile kısıtlı değildir. Bu saydığımız şekiller değişik şekillerde de biraraya gelerek yeni üç boyutlu geometrik şekiller oluşturabilirler. Bu konuda ilk olarak küp ve piramit örnek olarak verilebilir. Ancak bunların dışında, günlük hayatta hiç karşılaşmadığımız hatta ismini dahi ilk defa duyduğumuz tetrahedron (düzgün dört yüzlü), oktahedron, dodekahedron ve ikosahedron gibi üç boyutlu şekillerde vardır. Dodekahadron 13 tane beşgenden, ikosahedron ise 20 adet üçgenden oluşur. Bilim adamları bu şekilleri matematiksel olarak birbirine dönüşebileceğini ve bu dönüşümün altın orana bağlı oranlarla gerçekleştiğini bulmuşlardır.

Miroorganizmalarda altın oran barındıran üç boyutlu formlar oldukça yaygındır. Birçok virüs ikosahedron yapısında bir biçime sahiptir. Bunların en ünlüsü Adeno virüsüdür. Adeno virüsünün protein kılıfı, 252 adet protein alt biriminin düzenli bir biçimde dizilmesi ile oluşur. İkosahedronun köşelerinde yer alan 12 alt birim ise beşgen prizmalar biçimdedir. Bu köşelerden diken benzeri yapılar uzanır.

Virüslerin altın oranları bünyesinde barındıran formlarda olduğunu tespit eden ilk kişi 1950'li yıllarda Londra'daki Birkbeck Koleji'nden A. Klug ile D. Caspar'dır.13 Üzerinde ilk tespit yapılan virüs ise Polyo virüsüdür. Rhino 14 virüsü de Polyo virüsü ile aynı formu gösterir.

Peki acaba virüsler neden biz insanların zihnimizde canlandırmasını bile zorlukla yapabildiğimiz, böyle altın orana dayalı özel bir formlara sahiptirler? Bu formların kaşifi A. Klug bu konuyu şöyle açıklıyor:

"Caspar ile ben, küresel bir virüs kılıfı için optimum tasarımın ikosahedron tarzı bir simetriye dayandığını gösterdik. Böyle bir düzenleme bağlantılardaki sayıyı en aza indirir... Buckminster Fuller'in yarı küresel jeodezik kubbelerinden14 çoğu da benzer bir geometriye göre inşa edilirler. Bu kubbelerin oldukça ayrıntılı bir şemaya uyularak monte edilmeleri gerekir. Halbuki virüs, bir virüs kılıfı, alt birimlerinin esnekliğinden ötürü kendi kendini inşa eder."15

Klug'un bu açıklaması çok açık bir gerçeği bir kez daha ortaya koymaktadır. Bilim adamlarının "en basit ve en küçük canlı parçalarından biri"16 olarak gördükleri virüslerde bile hassas bir planlama ve akıllı bir tasarım vardır. Bu tasarım, dünyanın önde gelen mimarlarından Buckminster Fuller'ın gerçekleştirdiği tasarımlardan çok daha başarılı ve üstündür.
Dodekahedron ile ikosahedron, tek hücreli deniz yaratıkları olan ışınlıların silisten yapılma iskeletlerinde de ortaya çıkar.
Işınlılar (radiolaria), her köşesinden birer yalancı ayak çıkan düzgün Dodekahedron gibi, bu iki geometrik formdan kaynaklanan yapıları, yüzeylerindeki çok çeşitli oluşumlarla birlikte değişik güzellikteki bedenleri oluştururlar.17

Büyüklükleri bir milimetreden daha küçük olan bu organizmalara örnek olarak, ikosahedron yapılı Circigonia Icosahedra ile dodekahedran iskeletli Circorhegma Dodecahedra'nın adları verilebilir.18

DNA'da Altın Oran

Canlıların tüm fiziksel özelliklerinin depolandığı molekül de altın orana dayandırılmış bir formda yaratılmıştır. yaşam için program olan DNA molekülü altın orana dayanmıştır. DNA düşey doğrultuda iç içe açılmış iki sarmaldan oluşur. Bu sarmallarda her birinin bütün yuvarlağı içindeki uzunluk 34 angström genişliği 21 angström'dür. (1 angström; santimetrenin yüz milyonda biridir) 21 ve 34 art arda gelen iki Fibonacci sayısıdır.

Kar Kristallerinde Altın Oran

Altın oran kristal yapılarda da kendini gösterir. Bunların çoğu gözümüzle göremeyeceğimiz kadar küçük yapıların içindedir. Ancak kar kristali üzerindeki altın oranı gözlerinizle göre bilirsiniz. Kar kristalini oluşturan kısalı uzunlu dallanmalarda, çeşitli uzantıların oranı hep altın oranı verir.19

Uzayda Altın Oran

Evrende, yapısında altın oran barındıran birçok spiral galaksi bulunur.

Fizikte de Altın Oran....

Fibonacci dizileri ve altın oran ile fizik biliminin sahasına giren konularda da karşılaşırız:

"Birbiriyle temas halinde olan iki cam tabakasının üzerine bir ışık tutulduğunda, ışığın bir kısmı öte yana geçer, bir kısmı soğurulur, geriye kalanı da yansır. Meydana gelen, bir, 'çoklu yansıma' olayıdır. Işının tekrar ortaya çıkmadan önce camın içinde izlediği yolların sayısı, ışının maruz kaldığı yansımaların sayısına bağlıdır. Sonuçta, tekrar ortaya çıkan ışın sayılarını belirlediğimizde bunların Fibonacci sayılarına uygun olduğunu anlarız."20

Doğada birbiriyle ilişkisiz canlı veya cansız pek çok yapının belli bir matematik formülüne göre şekillenmiş olması onların özel olarak tasarlanmış olduklarının en açık delillerinden biridir. Altın oran, sanatçıların çok iyi bildikleri ve uyguladıkları bir estetik kuralıdır. Bu orana bağlı kalarak üretilen sanat eserleri estetik mükemmelliği temsil ederler. Sanatçıların taklit ettikleri bu kuralla tasarlanan bitkiler, galaksiler, mikroorganizmalar, kristaller ve canlılar Allah'ın üstün sanatının birer örneğidirler. Allah Kuran'da herşeyi bir ölçüyle yarattığını bildirmektedir. Bu ayetlerden bazıları şöyledir:

"... Allah, herşey için bir ölçü kılmıştır.""... O'nun Katında herşey bir miktar (ölçü) iledir." (Ra'd Suresi, Karizmatik


----------
1 Mehmet Suat Bergil, Doğada/Bilimde/Sanatta, Altın Oran, Arkeoloji ve Sanat Yayınları, 2.Basım, 1993, s. 155.
2 Guy Murchie, The Seven Mysteries Of Life, First Mariner Boks, New York s. 58-59.
3 J. Cumming, Nucleus: Architecture and Building Construction, Longman, 1985.
4 Mehmet Suat Bergil, Doğada/Bilimde/Sanatta, Altın Oran, Arkeoloji ve Sanat Yayınları, 2.Basım, 1993, s. 87.
5 A. L. Goldberger, et al., "Bronchial Asymmetry and Fibonacci Scaling." Experientia, 41 : 1537, 1985.
6 E. R. Weibel, Morphometry of the Human Lung, Academic Press, 1963.
7 William. Charlton, Aesthetics:An Introduction, Hutchinson University Library, London, 1970.
8 Mehmet Suat Bergil, Doğada/Bilimde/Sanatta, Altın Oran, Arkeoloji ve Sanat Yayınları, 2.Basım, 1993, s. 77.
9 http://www.goldenmuseum.com/index_engl.html
10 D'Arcy Wentworth Thompson, On Growth and Form, C.U.P., Cambridge, 1961.
11 C. Morrison, Along The Track,Withcombe and Tombs, Melbourne,
12 http://www.goldenmuseum.com/index_engl.html
13 J. H. Mogle, et al., "The Stucture and Function of Viruses", Edward Arnold, London, 1978.
14 Buckminster Fuller'in Jeodezik Kubbe tasarımları hakkında ayrıntılı bilgi için bakınız: Teknoloji Doğayı Taklit Ediyor, Biyomimetik, Harun Yahya, Global Yayıncılık, İstanbul.
15 A. Klug "Molecules on Grand Scale", New Scientist, 1561:46, 1987.
16 Mehmet Suat Bergil, Doğada/Bilimde/Sanatta, Altın Oran, Arkeoloji ve Sanat Yayınları, 2.Basım, 1993, s. 82
17 Mehmet Suat Bergil, Doğada/Bilimde/Sanatta, Altın Oran, Arkeoloji ve Sanat Yayınları, 2.Basım, 1993, s. 85
18 Değişik ışınlı bedenleri için bakınız: "H. Weyl, Synnetry, Princeton, 1952.
19 Emre Becer, "Biçimsel Uyumun Matematiksel Kuralı Olarak, Altın Oran", Bilim ve Teknik Dergisi, Ocak 1991, s.16.
20 V.E. Hoggatt, Jr. Ve Bicknell-Johnson, Fibonacci Quartley, 17:118, 1979.


KAYNAK 4

Eski Yunanda altın dikdörtgen bir çok sanat dalında kullanılmıştır. Bunlardan bir tanesi de Atina'daki Partenon 'dur. Partenon M.Ö 430 ve ya 440 yıllarında Athena adlı tanrıça için yapılmıştır. Tapınağın orijinal planları elimizde olmasa da , tapınağın uzunluğu genişliğinin kök 5 katı olan bir dikdörtgen üzerine inşa edildiği gözükmektedir. Ayrıca aşağıdaki resimlerde görebileceğiniz gibi tapınakta daha başka altın dikdörtgenlerde göze çarpmaktadır. (altın dikdörtgen kenarları oranı altın oran olan dikdörtgenlerdir.)

Altın oran sadece Yunanlılar tarafından kullanılmamıştır. Mısır'daki Keops piramidinde, Paris'in ünlü Notre Dame Katedralinde altın oranın izlerini görmek mümkündür. Hatta Türk mimarisi ve sanatı da altın orana ev sahipliği yapmıştır: Konya'da Selçuklular'ın inşa ettiği İnce Minareli medrese'nin taç kapısı, İstanbul'daki Davut Paşa Camisi, Sivas'ta Mengüçoğulları'dan günümüze miras kalan Divriği Külliyesi genel planlarından kimi ayrıntılarına dek f ile içiçe bir görünüm sunar.

ALTIN ORAN NEDİR?
Bu soruyu cevaplandırmak için bir başka soruyla başlıyoruz işe. Acaba bir doğruyu göze en hoş gelecek şekilde nasıl ikiye bölebiliriz?
       

Kimileriniz doğruyu tam ortadan bölmeyi, kimileriniz de doğruyu üçte ikilik ve üçte birlik iki parçaya bölmeyi teklif edeceklerdir. Ama bu iki cevap da doğru değildir. Bu soruyu Eski Yunan Medeniyeti'nde nasıl çözdüklerine bir bakalım.

AB doğru parçasını öyle iki parçaya böleriz ki, küçük parçanın ( [AC] ) büyük parçaya oranı ( [BC] ), büyük parçanın bütün doğruya oranına eşit olsun.

Bu ifadeyi denkleme dökecek olursak


Burada içler dışlar çarpımı yaparsak


Eğer 1- x i eşitliğin sol tarafına geçirirsek

denklemini elde ederiz. Bu denklemin iki kökü vardır ve bunların değeri aşağıdaki gibidir

Yalnız bu köklerden 2. kök negatif olduğundan çözüm kümesine onu almayız (hiç bir uzunluk negatif olamayacağından), ilk kök ise bizim phi F diye tanımladığımız altın oranı verir

F =1·61803 39887 49894 84820 45868 34365 63811 77203 09179 80576...

Peki altın oranı bu kadar özel kılan nedir? f sayısı mimaride, sanat eserlerinde, doğada bulunur ve ayrıca fibonacci sayıları   ile ilişkilidir

Dünyanın, insanların, bitkilerin, ağaçların... , kısacası Kainat'ın yaratılışında yaratıcının kullandığı orandır.

Aynı zamanda insanlar da teknolojide ve hayatta bu oranı kullanmaktadırlar. Kısaca biz altın orana "göz nizamının oranı" diyebiliriz.

Çoğu zaman doğayı gözlediğimizde bu oranın varlığını görebiliriz.

Altın Oran'ın Görüldüğü ve Kullanıldığı Yerler

1) Ayçiçeği: Ayçiçeği'nin merkezinden dışarıya doğru sağdan sola ve soldan sağa doğru tane sayılarının birbirine oranı altın oranı verir.

2) Papatya Çiçeği: Papatya Çiçeğinde de ayçiçeğinde olduğu gibi bir altın oran mevcuttur.

3) İnsan Kafası: Bildiğiniz gibi her insanın kafasında bir ya da birden fazla saçların çıktığı düğüm noktası denilen bir nokta vardır. İşte bu noktadan çıkan saçlar doğrusal yani dik değil, bir spiral, bir eğri yaparak çıkmaktadır. İşte bu spiralin ya da eğrinin tanjantı yani eğrilik açısı bize altın oranı verecektir.

4) İnsan Vücudu: İnsan Vücudunda Altın Oran'ın nerelerde görüldüğüne bakalım:

a) Kollar: İnsan vücudunun bir parçası olan kolları dirsek iki bölüme ayırır (Büyük(üst) bölüm ve küçük(alt) bölüm olarak). Kolumuzun üst bölümünün alt bölüme oranı altın oranı vereceği gibi, kolumuzun tamamının üst bölüme oranı yine altın oranı verir.

b) Parmaklar: Ellerimizdeki parmaklarla altın oranın ne alakası var diyebilirsiniz. İşte size alaka... Parmaklarınızın üst boğumunun alt boğuma oranı altın oranı vereceği gibi, parmağınızın tamamının üst boğuma oranı yine altın oranı verir.

5) Tavşan: İnsan kafasında olduğu gibi tavşanda da aynı özellik vardır.

6) Mısır Piramitleri: İşte size Altın Oran'ın en eski örneklerinden biri... Şimdi ne alaka Altın Oran ve Milattan Önce yapılan Mısır Piramitleri? Alaka şu; Her bir piramidin tabanının yüksekliğine oranı evet yine altın oranı veriyor.

7) Leonardo da Vinci: Bilindiği gibi Leonardo da Vinci Rönesans devri ünlü ressamlarındandır. Şimdi bu ünlü ressamın çizmiş olduğu tabloları inceleyelim.

   a) Mona Lisa: Bu tablonun boyunun enine oranı altın oranı verir.

   b) Aziz Jerome: Yine tablonun boyunun enine oranı bize altın oranı verir.

Karizmatik Picasso: Picasso da Leonardo da Vinci gibi ünlü bir ressamdır. Ve resimlerinde bu oranı kullanmıştır.

9) Çam Kozalağı: Çam kozalağındaki taneler kozalağın altındaki sabit bir noktadan kozalağın tepesindeki başka bir sabit noktaya doğru spiraller (eğriler) oluşturarak çıkarlar. İşte bu eğrinin eğrilik açısı altın orandır.

10) Deniz Kabuğu: Denize çoğumuz gitmişizdir. Deniz kabuklarına dikkat edenimiz, belki de koleksiyon yapanımız vardır. İşte deniz kabuğunun yapısı incelendiğinde bir eğrilik tespit edilmiş ve bu eğriliğin tanjantının altın oran olduğu görülmüştür.

11) Tütün Bitkisi: Tütün Bitkisinin yapraklarının dizilişinde bir eğrilik söz konusudur. Bu eğriliğin tanjantı altın orandır.

12) Eğrelti Otu: Tütün Bitkisindeki aynı özellik Eğrelti Otu'nda da vardır.

13) Elektrik Devresi:  demek ki Altın Oran sadece Matematik ve kainatta değil, Fizik'te de kullanılıyormuş. Nasıl mı? Şöyle... Verilen n tane dirençten maximum verim elde etmek için bir paralel bağlama yapılması gerekir.

14) SALYANGOZ: Salyangozun Kabuğu bir düzleme aktarılırsa, bu düzlem bir dikdörtgen oluşturur (-ki biz bu dikdörtgene altın dikdörtgen diyoruz.-) İşte bu dikdörtgenin boyunun enine oranı yine altın oranı verir.

15) OTOMOTİV SANAYİ: İlk önce ben size bir soru yönelteyim. Estetik bakımından bir Murat 131 mi daha çok ilginizi çeker yoksa bir Mazda ya da Toyota mı? Tabi ki Mazda ya da Toyota demişsinizdir. Peki bunun nedenini hiç düşündünüz mü? Ben size söyleyeyim. Şimdi Murat 131'e bakıyorsunuz, baktıkça içiniz kararıyor, yine bakıyorsunuz yine kararıyor. En sonunda ya kardeşim bu ne biçim araba diyorsunuz. Ama gidip bir Mazda ya da Toyota'ya bakıyorsunuz. Baktıkça içiniz rahatlıyor, yine bakıyorsunuz ferahlıyorsunuz. Çünkü o kadar güzel bir estetik var ki. İşte bu estetiği eğim sağlıyor. Mesela Murat 131'in önü, arkası, kapısı her yeri düz (Mübarek kibrit kutusu) Ama Mazda ya da Toyota'nın kapısında özellikle ön ve arka tamponunda bir eğim var. İşte bu eğimin eğrilik açısı araştırılmış ve bunun altın oran olduğu görülmüştür. Bundan dolayı Çin, Amerika, Japon Otomotiv Sanayi Dünya'da ilk üçü oluştururken; Türkiye maalesef ve maalesef 30-40-50. sıralarda yer almakta. İnşallah bir gün bunu biz de akıl ederiz...

16) MİMAR SİNAN: Mimar Sinan'ın da bir çok eserinde bu altın oran görülmektedir. Mesela Süleymaniye ve Selimiye Camileri'nin minarelerinde bu oran görülmektedir.
midena pro tou telous makarize

Çevrimdışı Wolfeye

  • Yönetici
  • *
  • İleti: 4719
  • Teşekkür: 55
  • Cinsiyet: Bay
    • Sanat tarihi
Ynt: Altın sayı - Tanrısal oran
« Yanıtla #3 : 18 Ocak 2009, 12:39:42 »
KAYNAK 5

Fibonacci sayıları ve altın oran matematiğin en ilgi çekici konuları arasındadır. Leonardo Fibonacci 13. yüzyılda yaşamış bir İtalyan matematikçisiydi. Fibonacci (bu soyadının anlamı "Bonacci'nin oğlu"dur) 1202' de, 1228 yılındaki ikinci baskısı sayesinde günümüze kadar varolmayı sürdürmüş kitabı Liber Abaci'yi ("Abaküs konusunda bir kitap" olarak Türkçeye çevrilebilir) yazmıştır. Liber Abaci, Hint-Arap sayılar sistemindeki sayısal simgelerin (1,2,3,... sayıları) Avrupa'ya girmesinde oldukça önemli bir yer sahibidir. Oldukça büyük boyutlu bir kitaptır ve o dönemde bilinen matematiğin büyük bir bölümünün kayıtlarını içerir. Cebirin kullanımı , farklı önem ve zorluk derecesinde bir çok örnek de verilerek, çok özel bir yer tutmaktadır. Ancak bunların arasından bir tanesi ve yalnız bir tanesi diğerlerinin çok ötesinde ünlü olmuştur: Günümüze erişen 1228 yılındaki ikinci baskının 123-124. sayfalarında yer almaktadır ve tavşan üretmek gibi matematikle pek ilgisi olmadığının düşünüldüğü bir konuyla ilgilidir. Temelde sorulan soru şudur; eğer bir çift tavşan her ay yeni bir çift tavşan doğurursa ve her yeni tavşan çifti kendi doğumlarından iki ay sonra yavrulamaya başlarsa, bir çift tavşandan bir yılda kaç çift tavşan üretilebilir? İlk ay yeni doğmuş bir çift tavşanımız olsun, tabi matematik bu yavruların anasız, babasız nasıl büyütülecekleri veya bu iki tavşanın da aynı cinsten olup olmaması konusuna pek girmez. İkinci ayda, bu tavşanlar daha yavrulamadıklarından, hala bir çift tavşanımız olacak. Üçüncü ayda bu tavşanlarımız yavrulayacağından iki çift tavşanımız olacak. Bu yeni doğmuş olan çift dördüncü ay doğurmayacak , oysa ana babaları yeniden bir çift yavru yapacak ve toplam üç çift tavşanımız olacak. Bu mantıkla düşünmeye devam edersek aşağıdaki sayı dizisini elde ederiz. Dizideki sayılar Ocak (ilk yavru çiftinin ortaya çıktığı ay) ile Aralık arasındaki takvim aylarının her birinde bizim kahraman tavşan çiftlerimizin sayısını vermektedir:

1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144

Bu diziye baktığımız zaman onun basit bir kurala dayanarak oluşturulduğunu görebiliriz. Bu kuralı sözcüklerle ifade edersek; her sayı (ilk ikisi dışında) kendisinden önce gelen iki sayının toplamından oluşmuştur. Böylece, örneğin, dizinin sonundaki Aralık ayı sayısı , Ekim ve Kasım sayıları olan 55 ve 89 sayılarını toplayarak kolayca bulunabilir...

Zannedersem buraya kadar bir sorun yoktur, çünkü ilk bakışta gayet sıradan bir dizi gibi durmaktadır, bizim dizimiz. Ancak matematikçileri bu kadar heyecanlandıran ve peşinden sürükleyen olay nedir? Şimdi bu diziyi genelleyelim. Tavşanların bu şekilde devamlı yeni bebek sahibi olduklarını düşünürsek dizimizi sonsuza kadar uzatabiliriz. Hatta tavşanların hepsini bir yana bırakarak , n'inci sayıyı Fn olarak yazarak (Fibonacci adının baş harfi olduğundan F harfini kullanıyoruz) ve Fn 'in kendinden önce gelen Fn-2 ve Fn-1 sayılarının toplamı olduğunu hatırlayarak sonsuz bir sayı dizisi tanımlayabiliriz. Öyleyse Fibonacci sayılarının dizisi şu şekilde yazılabilir;

F1 , F2 , F3 , F4 , F5 , F6 , ....., Fn , .....

Öyleyse bize, F1 =1 ve F2 =1 verildiğinde daha sonra gelen bütün sayıları bulabilmemizi sağlayan basit denklem şöyle olacaktır;
Fn = Fn-1 + Fn-2

Bu formüle bakarak bazı şeyleri söyleyebiliriz. Mesela n=3 ise; F3 = F2 + F1 = 1 + 1 = 2 olur. Aynı şekilde F4 = 3 , F5 = 5 , F6 = 8 vb.. bulunabilir. Eğer biz bu işleme devam edersek sayılar korkunç derecede büyürler. Mesela dizinin 25' inci sayısı 75.025 olmuş, 100'üncü sayısı olan F100 = 354.224.848.179.261.915.075 gibi 21 basamaklı dev bir sayı olmuştur. Ancak bu dizinin terimlerine ilk bakışta görülemeyen bir başka düzen daha vardır. Dizinin sayıları ilerledikçe bu düzen kendini daha belirgin bir biçimde ortaya koyar. Eğer her Fibonacci sayısı kendisinden sonra gelen komşusuna bölünürse ve bulunan oranlar yazılırsa bu düzen hemen karşımıza çıkar. Böylece ilk iki oranla yola çıkarak, F1 / F2 = 1 , F2 /F3 = 1/2 (yani 0.5) olarak bulunur. Bu işlemi aynen devam ettirirsek sonraki sayfada gösterildiği gibi sayılar elde edilir...

1.000000
0.500000
0.666666
0.600000
0.625000
0.615385
0.619048
0.617647
0.618182
0.617978
0.618056
0.618026
0.618037
0.618033
0.618034
0.618034

Bu sayılar gayet sıradan bir sayı gibi görünen 0.618034... sayısına doğru gidiyorlar. Gerçekte, bu "Fibonacci Sayıları" nı almayı sonsuza kadar sürdürme sonucunda bulunan sayılar (-1)/2 sayısına giderek daha da yaklaşırlar, bu sayının ondalık ifadesi de bilgisayarlarımızın verdiği tam hassasiyetle 0.618033989 olarak bulunmuştur. Fibonacci sayıları ailesi üç ayrı nedenle, yüzyıllardan bu yana yoğun bir ilgi odağı olmuştur. Birincisi;dizinin daha küçük üyelerinin doğada, beklenmedik yerlerde tekrar tekrar karşımıza çıkmasıdır; bitkilerde, böceklerde, çiçeklerde vb. İkinci neden oranların limit değeri olan 0.618033989 sayısının çok önemli bir sayı olmasıdır; genellikle "altın oran" olarak adlandırılan bu sayı, oyun kartlarının biçiminden Mısır'daki piramitlere kadar bir çok şeyin matematiksel temelini oluşturmaktadır. Üçüncüsü daha çok, sayıların kendilerinin, sayılar teorisinde beklenmedik biçimde farklı birçok kullanımı olan ilginç özellikleriyle ilgilidir. Önce doğada küçük Fibonacci sayılarıyla ne şekilde karşılaşıldığına bir bakalım. İlk olarak bir bitkinin sapındaki yaprakların, bir ağacın dallarının düzeninde hemen her zaman Fibonacci sayılarını bulursunuz. Eğer yapraklardan biri başlangıç noktası olarak alınmışsa ve bundan başlayarak, aşağıya veya yukarıya doğru, başlangıç noktasının tam olarak altında veya üstünde olan bir yaprak bulunana kadar yapraklar sayılırsa (sap çevresinde birden fazla dönmeye gerek olabilir) bulunan yaprak sayısı, farklı bitkiler, fidanlar ve ağaçlar için farklıdır, ancak her zaman bir Fibonacci sayısıdır. Dahası yaprakları sayarken süreç kendini tamamlamadan önce yapılan devir sayısı da bir Fibonacci sayısıdır. Ayrıca papatyaların da normal olarak bir Fibonacci sayısı kadar taç yaprağı vardır, tabi seviyor - sevmiyor diye koparılmamış ise:). Bu sebeple siz siz olun olaya matematiksel yaklaşarak genellikle elinize aldığınız papatyaya "seviyor" sözcüğüyle başlayın, çünkü bir papatyanın yaprak sayısı genelde Fibonacci sayılarından 21, 34, 55 ve 89 dur.

Doğadan Fibonacci sayılarına diğer bir örnek ise ayçiçekleriyle ilgilidir. Ayçiçeğinin çiçek kısmında, ufak bölmelerde tohumlar vardır. Bu bölümlerin sınırları merkezden başlayıp çiçeğin dış kenarına giden sarmal eğriler şeklindedir. Eğer bir ayçiçeğini inceleme şansınız olursa ve hem saat yönünde hem de saat yönünün zıddındaki sarmalları sayarsanız bir Fibonacci sayısıyla karşılaşacağınızdan şüpheniz olmasın. Ayçiçeklerinin tohumları büyük ve bu sebeple incelenmesi rahat olduğundan örnek olarak verdim, yoksa ayçiçeğinin özel bir durumu yoktur. Birçok çiçeğin tohum başı, bir kıvırcığın yaprakları, bir soğanın katmanları, ananas ve kozalakların kat kat kabukları gibi bitkisel şekillerin birçoğu Fibonacci sarmalları içerisindedir. "Fibonacci olmayan herhangi bir kozalak bulunmuş mudur?" diye sorabilirsiniz. Yanıt "Evet ama çok az sayıda." şeklindedir. Yüzde bir veya iki oranında farklı kozalakları olan (çoğu zaman bir kaç belirli çam türünden)bazı çam ağaçları vardır. Bunlar bile sık sık Fibonacci kozalaklarıyla , yakından ilişkilidirler, örneğin, normal olan 5 ve 3 sayıları yerine belki de bir çifte Fibonacci sarmalının 10 ve 6 sayı çiftine sahiptirler. Eğer Fibonacci sayılarının nasıl oluştuğunu, yani n'inci sayının , daha küçük iki komşusundan
Fn = Fn-1 + Fn-2 denklemlerini kullanarak hesaplandığını hatırlarsak, ilk iki sayı seçilmeden bütün dizinin tümüyle saptanmış olmayacağı açıkça görülür. Fibonacci dizisi, F1 = 1 ve F2 = 1 ile başlar, öbürlerini de yukarıdaki denkleme göre daha sonra saptarız. Ancak bu iki başlangıç sayısının özel bir yanı olmadığından, başlangıç için başka değerler de seçilebilir ve aynı tanımlayıcı denklemi kullanarak tümüyle farklı bir sayı dizisi elde edebilirsiniz.
Fransız matematikçisi Edward Lucas'ın adıyla anılan Lucas sıyıları dizisi Fibonacci sayı dizileriyle akrabadır. Başlangıç sayıları için seçilebilecek ikinci en basit sayıları seçerek F1 = 1 ve F2 = 3 olarak almıştır. F1 = 1 ve F2 = 2 koyarsak Fibonacci dizisini bazı ufak düzensizliklerle tekrarlayan bir dizi oluştuğuna ve yeni hiç bir şey elde edilmediğine dikkat etmenizi istiyorum. Oysa Lucas sayıları Fibonacci akrabalarından çok farklı bir dizi oluştururlar ve şu şekildelerdir;

1,3,4,7,11,18,29,47,76,123,199,322,...

Genellikle Lucas'ın baş harfi olan Ln ile gösterilirler. Lucas dizisi Fibonacci dizisinin birçok akrabasından biridir ancak ilginç olan bu sayıların da bazen doğada görülmesidir. Mesela Lucas ayçiçekleri olduğu belirlenmiştir. Fibonacci arkadaşlarından daha az rastlanıyor ancak 123 sağ sarmalı ve 76 sol sarmalı olan örnekler görülmüştür...

Doğada Fibonacci sayılarının ve çok sık olmamakla beraber Lucas sayılarının görülmesini açıklamaya çalışan bazı görüşler vardır. Bunlar içinde akla en yatkın olan, bir sap çevresindeki yaprakların Fibonacci sarmallarına göre sıralanmakla yüzeylerinin Güneş'i en verimli biçimde almalarının sağlandığı yolundadır. Diğer bir görüş ise (daha az doğrulanabilir olmasına rağmen), polen taşıyan böceklerin "sayısal düzenler" i tercih ettikleri varsayımına dayanmaktadır. Bu tercih sebebiyle evrim süreci boyunca Fibonacci geometrilerinin baskın çıkmasına yol açmıştır. Şimdi ise Fibonacci ve Lucas sayı dizilerinin sonsuza gitmeleri sonucu ortaya çıkan ve altın oran denilen limit oranı 0.618033989... sayısı üzerinde duralım. Bu sayıya olan ilgi 2000 yıl öncesinden de geriye dayanır. "Atalarımız" altın oranı temel alan sanat ve mimarinin göze olağanüstü güzel göründüğünü biliyorlardı. Bu nedenle geometriyi altın orana göre tanımladılar; özellikle de bir düz doğru parçasını ikiye ayıran nokta olarak. Öyle ki, küçük parçanın büyüğe oranı, büyüğün bütüne olan oranına tam olarak eşittir. Küçük bölümü x, büyük bölümü ise 1 ile gösterirsek aşağıdaki gibi bir ifade yazabiliriz;

x / 1 = 1 / ( 1 + x )

Buradaki x+1 ifadesi anladığınız üzere doğru parçasının bütününün uzunluğudur. Bu ifadeye basit bir içler dışlar çarpımı uyguladığımızda x2 + x - 1 = 0 biçiminde ikinci dereceden bir ifade elde ederiz. Bu ifadeden de x ' i çekersek x=( -1) / 2 tam çözümünü elde ederiz. Daha önce de ifade ettiğim gibi x = (-1) / 2 ifadesi bilgisayarlarımızın vermiş olduğu hassasiyetle 0.618033989 sayısıdır.  Kısa kenarının uzun kenarına olan oranı altın oran olan bir dikdörtgen çizerseniz çok ünlü bir sanat eseri ortaya çıkarmış olursunuz, ve buna altın dikdörtgen adı verilir. Eski Yunan'da buna Kutsal kesit adını vermişlerdi.
midena pro tou telous makarize

Çevrimdışı atesgulcugil

  • Üye
  • *
  • İleti: 1
  • Teşekkür: 0
Ynt: Altın sayı - Tanrısal oran
« Yanıtla #4 : 07 Nisan 2015, 02:32:58 »
Parthenon'un altın oran boyutları:

https://www.youtube.com/watch?v=dwRwZnJtlkA

Not: Link çalışmazsa youtube'da ates gulcugil yazın lütfen.

Çevrimdışı Wolfeye

  • Yönetici
  • *
  • İleti: 4719
  • Teşekkür: 55
  • Cinsiyet: Bay
    • Sanat tarihi
Ynt: Altın sayı - Tanrısal oran
« Yanıtla #5 : 12 Nisan 2015, 13:02:20 »
yukarıda verilen link çalışmıyor, aşağıdakini kullanabilirsiniz
https://www.youtube.com/channel/UC9cP6ZKA_IZs5Byf0TnDuVA
midena pro tou telous makarize